有关攻速
昨天跟朋友讨论游戏开发的时候聊到了这个话题。
定义 #
攻击速度（频率）和攻击间隔 #
「攻击速度（Attack Speed）」：指单位时间内进行攻击的快慢程度。
通常以单位时间内执行的 攻击次数 来衡量，从这个角度来看，一般可以等价于「攻击频率（Attack Frequency）」；不过在我们所熟知的一些语境中，攻击速度 的叫法往往会比 攻击频率 更常见一点。
较高的 攻击速度 通常意味着 单位时间内进行更多的攻击。
「攻击间隔（Attack Interval）」：指两次连续攻击之间的时间间隔。
在一些游戏中（如泰拉瑞亚等）也被称为「使用时间（Use Time）」，即完成一次（攻击）动作所需使用（花掉，cost）的时间。
二者乍一听好像是同一个概念（同样可以用来描述攻击的快慢），只是说法不同。
但实际上并不是这样，其实在本质上，两者之间也是完全不同的东西。
举个例子，我们说在某个游戏中「加攻速」，一般情况下指的是直接增加 攻击速度；
然而，在另一些游戏里（如 Dota 2 中的基本攻击间隔 BAT），存在游戏内部机制能够缩减 攻击间隔 以达成更频繁地攻击的目的。
总的来说：
攻击速度强调在单位时间内进行攻击动作的 频繁程度。攻击间隔强调在连续两次攻击动作之间所需（且必然存在）的 时间间隔。
如果把对 攻击间隔 的描述换一个说法：进行 一次 完整攻击的周期 T，称为 攻击间隔。
将「一次完整攻击」作为参考标的，则有：
$$
\text{攻击频率(攻击速度)} f = \frac{1}{\text{攻击间隔} T}
$$
可以轻易发现 攻击速度 和 攻击间隔 实际上是倒数关系：攻击速度越高，则攻击间隔越短；反之亦然。
攻击次数（频次） #
此时可以从外部引入其他变量来进一步描述。
「战斗总时长（TTK，Time To Kill）」：击败敌人所需的全部时间（在此期间视为保持匀速攻击）。
「攻击频次（Attack Count）」：指在 某一段时间 内执行的攻击动作的数量。
为了防止和 攻击频率（即 攻击速度）混淆，我们这里就称之为 攻击次数。
$$
\text{攻击频率(攻击速度)} f = \frac{\text{攻击次数} n}{\text{战斗总时长} \tau}
$$
最终可得游戏内与攻速相关的各种物理量之间的全部关系： $$ \text{攻击频率(攻击速度)} f = \frac{1}{\text{攻击间隔} T} = \frac{\text{攻击次数} n}{\text{战斗总时长} \tau} $$
实际用途 #
基础建模 #
假设一个最简单的模型：
一次普通攻击（俗称「平 A」），在游戏中的具体效果呈现为给 攻击目标 造成一定量的伤害。
当任意一方 生命值（俗称「血量」）归零（≤ 0）时，战斗结束。
- 我方战败，此处不讨论，因为可以直接视为「游戏失败（Game Over）」另行处理。
- 敌方战败（且：与此同时，我方存活），则可以根据以上条件计算出我方的战损。
如何将双方的数值计算联立起来？
当然需要找到一个共享的数值，显然就是本次作战的全部耗时——「战斗总时长（TTK，Time To Kill）」。
为了简化模型，暂且将战斗双方的 攻击速度（即 攻击频率，等价于 1 / 攻击间隔）视为相同的固定值。且有：
$$
\text{战斗总时长} \tau = \text{我方攻击次数} n_1 \times \text{我方攻击间隔} T_1
$$
已经确定 攻击间隔 为固定值（常量），那么如何确定我方 攻击次数 呢？
很简单，Time To Kill（打到死）：
$$
\text{我方攻击次数} n_1 = \lceil \frac{\text{敌方总血量} HP_2}{\text{我方单次攻击伤害} DPS_1} \rceil \tag{公式1}
$$
至于为什么是向上取整，因为如果敌方剩一点血皮没死，肯定不能让他苟住继续作妖；
你还要补刀，这次「补刀」显然得是一次完整攻击。
这里的「DPS」严格上说是错误的, 因为这里的值实际上代表 单次攻击能够造成的伤害。
而真正的 DPS 是 Damage Per Second 每秒造成伤害，与攻击间隔（而不是攻击次数）有关。
这里只是借用这个习惯叫法，MMO 里还常常有把 DPS 视作「总共造成的所有伤害」的约定俗成呢。
别问，问就是我缩写的其实是「Damage Per Single-attack」。
敌方明显应该共享这个战斗总时长，因此有： $$ \text{敌方攻击次数} n_2 \times \text{敌方攻击间隔} T_2 = \text{战斗总时长} \tau = \text{我方攻击次数} n_1 \times \text{我方攻击间隔} T_1 $$
约掉双方相等的固定值常量 攻击间隔，则双方 攻击次数 相等；
再代入 公式1（我方 攻击次数 一式）则有：
$$
\text{敌方攻击次数} n_2 = \text{我方攻击次数} n_1 = \lceil \frac{\text{敌方总血量} HP_2}{\text{我方单次攻击伤害} DPS_1} \rceil \tag{公式2}
$$
那么战损——即在本场战斗中会损失掉的 生命值 为：
$$
\text{我方战损} HP_1 = \text{敌方单次攻击伤害} DPS_2 \times \text{敌方攻击次数} n_2
$$
代入 公式2（敌方 攻击次数 一式）可得出我方本场战损为：
$$
\text{我方战损} HP_1 = \text{敌方单次攻击伤害} DPS_2 \times \lceil \frac{\text{敌方总血量} HP_2}{\text{我方单次攻击伤害} DPS_1} \rceil
$$
引入攻速 #
上面的讨论仅在「双方攻击速度相等」的条件下成立，如果要引入不同的攻速变化呢？
通过 攻击间隔 和 攻击频率 之间的倒数关系容易想到：
$$
\frac{\text{我方攻击次数} n_1}{\text{我方攻击频率(攻击速度)} f_1} = \text{战斗总时长} \tau = \frac{\text{敌方攻击次数} n_2}{\text{敌方攻击频率(攻击速度)} f_2}
$$
稍作变换可得： $$ \text{敌方攻击次数} n_2 = \lfloor \frac{\text{敌方攻击频率(攻击速度)} f_2}{\text{我方攻击频率(攻击速度)} f_1} \times \text{我方攻击次数} n_1 \rfloor $$ 这里为什么又要向下取整呢？因为当攻速快的那方的最后一次出手——导致战斗结束、胜负已分的那个瞬间，攻速慢的另一方的最后一次攻击显然是 尚未完成 的，因此应该直接舍弃掉结算。
代入上面算出来的 公式1（我方 攻击次数 一式）：
$$
\text{敌方攻击次数} n_2 = \left\lfloor \frac{\text{敌方攻击频率(攻击速度)} f_2}{\text{我方攻击频率(攻击速度)} f_1} \times \lceil \frac{\text{敌方总血量} HP_2}{\text{我方单次攻击伤害} DPS_1} \rceil \right\rfloor
$$
最后可得： $$ \text{我方战损} HP_1 = \text{敌方单次攻击伤害} DPS_2 \times \left\lfloor \frac{\text{敌方攻击频率(攻击速度)} f_2}{\text{我方攻击频率(攻击速度)} f_1} \times \lceil \frac{\text{敌方总血量} HP_2}{\text{我方单次攻击伤害} DPS_1} \rceil \right\rfloor $$
此处顺便引入简单的攻防系统，伤害计算公式： $$ \text{单次攻击伤害} DPS = \text{(攻击者的)攻击力} ATK - \text{(攻击目标的)防御力} DEF $$
如此一来，我们就得到了一个神奇的公式：
class BattleUnit {
constructor(name, health, attack, defense, attackSpeed = 1) {
this.name = name;
this.health = health;
this.attack = attack;
this.defense = defense;
this.attackSpeed = attackSpeed;
}
}
const hero = new BattleUnit("Hero", 100, 25, 10);
const enemy = new BattleUnit("Monster", 100, 20, 10);
hero.dps = hero.attack - enemy.defense;
enemy.dps = enemy.attack - hero.defense;
hero.attackConut = Math.ceil(enemy.health / hero.dps);
enemy.attackConut = Math.floor(
(enemy.attackSpeed / hero.attackSpeed) * hero.attackConut,
// 这里倒是真的有优化空间: 满足交换律的前提下 **先乘再除** 显然能够减少计算结果误差
// 两个整数乘不出浮点数 两个整数很容易除出浮点数 而浮点数就意味着 *近似值*
// 已经取过近似值的浮点数再乘以任何数(我知道 0 / 1 除外, 别杠)都相当于成倍放大误差
// 众所周知在 JS 中 0.1 + 0.2 !== 0.3
// BTW, *判断浮点数是否相等* 的正确姿势是 if (两数相减的差的绝对值 < 你最低能接受的精度误差值)
// Math.abs(0.1 + 0.2 - 0.3) < 0.0000000000000001
);
// 为了激励玩家 机制简单的游戏里一般会把敌人原本的攻击次数 -1 以表示玩家永远先出手(而不是比攻速)
// 否则本来以你的强度明明可以见面直接秒杀对方 结果进战后无论如何总得吃对面一下 还挺恶心的
// 伤害不高 侮辱性极强
const enemyDamage = enemy.dps * (enemy.attackConut - 1);
// 使用公式直接计算出战斗结果的时间复杂度显然为 O(1) 巧妙避开了真正模拟实时战斗的多轮计算
// 不过 作为代价也难以表现出战斗过程的细节 实际开发中需要根据设计目标自行权衡利弊做取舍
if (enemyDamage < hero.health) {
console.log(
`战斗结束，${hero.name} 击败了 ${
enemy.name
}，自己受到了 ${enemyDamage} 点伤害，目前还剩余 ${
hero.health - enemyDamage
} 点 HP。`,
);
} else {
console.log(`战斗结束，${hero.name} 倒在了血泊中。`);
}
当然，你可以最后把这个公式的内容全部合并、写成一行，省掉 不必要 的中间变量以期减少（理论上的）内存使用量。
毕竟傻软 JavaScript 在绝大多数情况下 的赋值行为只会单纯地复制粘贴（而不是引用指针）；
那只要多定义一个变量（哪怕只是 Number，哪怕只是临时），就得多占一点内存——整整他妈的 8 字节（64 位系统），你敢信？！
简直是他妈的骇人听闻惨绝人寰恶贯满盈天诛地灭的犯罪！是这个道理吧。
当然，你还得知道现代（你醒啦，已经是 4202 年了）的编译器 / 解释器乃至运行时——都不是傻子。
「中间代码优化」了解一下，「常数折叠 / 常数传播（此处不是但这东西确实存在）」了解一下，「tree shaking」了解一下，「自动垃圾回收」了解一下……过早 / 过度优化是一种病；而「声明变量」是开发过程中你最不应该去害怕的东西。
保证代码的可读性 比 提升人类压根都难以感知的那一丁点效率 的重要性不知高到哪里去了。
否则像 TypeScript 这种纯粹「画蛇添足」的玩意只要活着就是原罪，连呼吸都有错。（Turbo、Svelte 等的开发者：谁说不是呢？🤣）
你要真的 辣么 在乎效率，
效率比命都要重要，那你还写什么高级语言啊。
你知道所有 代码含有具体语义（以便人类理解）的编程语言 都叫「高级编程语言」吗？
因为它们通通都是经过高度封装的，运行源码需要进行大量转译工作（即编译过程）；正常使用场景下哪怕你想、你都很难触及到底层实现。
如果真那么在乎效率，不如你直接写汇编好了，没有任何中间商（编译器 / 解释器 / 运行时）赚差价；
不，汇编都配不上你，你应该直接手写机器码——或者更干脆点，打 穿孔纸带 进行编程。
扩展研究 #
本文只讨论了战斗中单挑（1v1）的情况，如果有大乱斗（多对多），会涉及到另一个非常有趣的概念。
它就是「兰彻斯特平方律」：简单来说，因为战斗单位阵亡的同时也意味着总体输出减少，优势方的「相对输出比」会像滚雪球般迅速扩大。这个优势的扩张速度（或者说劣势方的崩溃速度）不是线性的，而是平方级的。
核心原理——从中古开始，战斗单位就是有「生命值 / 血量（某种程度上也包含士气在内）」的，而不是简单地像下棋一样兑子（宏观来看，有时也确实会大道至简地回归到类似兑子的简略模型）；伤害输出和受到的伤害都是平均分配的（数学期望平均，因为战争进程充满了随机性），火力弱、兵力少的一方受到「减员」的影响是必然急速扩大的链式反应。
正所谓——中国有句古话，叫识时务者为俊杰 兵败如山倒。
（咱们能用上的）具体应用场景：LOL 控兵线；至于 Dota 有「反补」和「拉野」可操作性和变数都会更多，LOL 就是纯纯的兰彻斯特方程。
再具体一点、比方说最简单的「推线」，你可以站在兵堆里 A 对方英雄吸引仇恨，对方小兵会转火 A 你；此时你的小兵仍然在 A 对方小兵，双方兵线原本相持不下的战斗力开始产生差距，兵线就推过去了。
不过这是短期结果，长期来看，由于兵线交汇点推进到了离对方基地更近的地方，对方后续支援的兵线会更快赶到战场形成更大规模的 局部以多打少，兰彻斯特平方律再次生效，于是己方兵线会更迅速地阵亡，之后对方兵线开始反推进，这就是「回推线」。加上对防御塔（的巨额伤害）的考量，因此是否选择把兵线推进塔（的攻击范围）里对「控线」来说非常重要。
当然了，对方英雄的行动（如果不是人机）由于背后玩家操作的存在，是完全混沌、不可预测（段位越低，反而越难预测 😂）的，这样就变成了动态博弈。这也是 PVP 游戏好玩的地方所在：与人斗，其乐无穷。如果双方的长线策略和临场抉择最后形成了纳什均衡，对线局面就会陷入胶着（「焦灼」感觉是误用），或者说「和平发育 （的垃圾时间）」。
篇幅有限，这里就不继续多做展开了，有机会再详细讨论（人话：咕）。
我们有缘再见。